Ενδιαφέρουσες ασκήσεις πάνω στη θεωρία αριθμών!

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 30,791 μηνύματα.
πες μου αν αυτό που στέλνω σε πμ επιτρέπεται , και αν οχι :)
Το 'χει ήδη βγάλει έτσι η Μισέλ νομίζω, αλλά μου 'χει πει πως αυτό δεν επιτρέπεται και θέλουμε να το σιγουρέψουμε. Αν δεν βγει με τα "εργαλεία" που έβαλα πιο πάνω έτσι θα 'ναι. ;)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Resident Evil

Διακεκριμένο μέλος

Η Resident Evil αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Έχει γράψει 7,959 μηνύματα.
ok, αλλά αν δεν επιτρέπεται θέλω διευκρίνηση του γιατί! γιατί το -u know ποιο συμβολο- τυπικά δεν διαφέρει... (νομίζω και θεωρώ :)) το λεώ γιατι το είχαμε παιδέψει ΠΟΛΥ παλιότερα με μια παρέα και δεν είχαμε καταφέρει να βγάλουμε κάτι άλλο...

άμα είναι feel me in (με τα άλλα δεν ασχολήθηκα τώρα αλλά είναι αρκετά απλά 1#1#1=6 Included)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 30,791 μηνύματα.
Διαφέρει, πώς δεν διαφέρει; :P
Βασικά το αν επιτρέπεται ή όχι εξαρτάται από το συντάκτη του παιχνιδιού. Μάλλον δεν το επιτρέπει, αλλά δεν είμαστε σίγουροι. Ε, αν δεν βγαίνει με τα παραπάνω, θα βγαίνει μ' αυτό. :P
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Subject to change

e-steki.gr Founder

Η Λία αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 37 ετών και επαγγέλεται Web developer. Έχει γράψει 15,891 μηνύματα.
Πρέπει τότε να ΑΠΟΔΕΙΞΟΥΜΕ οτι δεν βγαίνει με τα παραπάνω. Πως θα το κάνουμε αυτό ΕΚΤΟΣ προφανώς απο το να δοκιμάσουμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς;
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Resident Evil

Διακεκριμένο μέλος

Η Resident Evil αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Έχει γράψει 7,959 μηνύματα.
Michelle, Γιώργο δείτε τα πμ σας :)

(πσ...δεν θέλω σχόλιο για το ... καμμένο της ώρας/μέρας :P )
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

Ο Γιώργος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 30,791 μηνύματα.
Ξουρουζου.....

















Είσαι θεά. :worship:
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο. ..του πατρός ΜΠΛΟΥΜ και του υιου... αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 42 ετών. Έχει γράψει 323 μηνύματα.
Ένα πρόβλημα που ανάγεται σε θεωρία αριθμών (το είχα λύσει περίπου 3 χρόνια πριν. Δεν ξέρω αν θυμάμαι τη λύση)
Δύο βοσκοί έχουν ο καθένας απο ισο αριθμό γελαδιών. Αποφασίζουν να συνεταιριστουν. Ενώνουν τα κοπάδια τους και πουλάνε τα γελάδια με τόσα ευρώ το ένα, όσα είναι όλα μαζί τα γελάδια. Με τα λεφτά αγοράζουν πρόβατα με 10 ευρώ το ένα. Μένει όμως ένα υπόλοιπο (μη-μηδενικό). Με αυτό αγοράζουν ένα κατσίκι. Δεν μένει τπτ άλλο απο λεφτά. Αρχίζουν τώρα τη μοιρασιά: "Ένα πρόβατο εγώ, ένα εσύ. Ενα εγώ, ένα εσύ..." ώσπου μένει ένα πρόβατο κ το κατσίκι. Προφανώς ο ένας παίρνει το πρόβατο κ ο άλλος το κατσίκι. Επίσης προφανώς, αυτός που πήρε το κατσίκι νιώθει ριγμένος. Οπότε, λέει στον σύντροφο "Δώσε μου κ το σουγιά σου, κ είμαστε πάτσι". Έτσι γίνεται, και ζήσαν αυτοί καλά κι εμεις καλύτερα.
Ερώτημα: Πόσο κοστίζει ο σουγιάς; (Όλα τα δεδομένα κ οι αριθμοί που εμπλέκονται είναι φυσικοί.)

Άλλο ένα μικρουύουουουλι: Να δείξετε ότι η τετραγωνική ρίζα ενός ακέραιου αριθμού δεν μπορεί να είναι κλάσμα (εκτός από κλασματική μορφή ακεραίου, βεβαίως, βεβαίως).
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Τελευταία επεξεργασία:

frappe

Νεοφερμένος

Ο frappe αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 36 μηνύματα.
Ας υποθέσουμε ότι ο καθένας βοσκός έχει χ γελάδια.
Τότε συνολικά έχουν 2χ γελάδια και τα πουλάνε 2χ ευρώ το ένα
Παίρνουν (2χ)^2 = 4χ^2 ευρώ

Προφανώς αγόρασαν περιττό πλήθος προβάτων (αφού περισσεύει ένα στο τέλος)

Έστω λοιπόν 2ν+1 πρόβατα, που κοστίζουν (2ν+1)*10
Αν το κατσίκι κοστίζει κ ευρώ (κ<10), τότε έχουμε

(2ν+1)*10 + κ = 4χ^2, απ όπου φαίνεται ότι ο κ είναι άρτιος, έστω κ=2λ =>
(2ν+1)*10 + 2λ = 4χ^2 =>
(2ν+1)*5 + λ = 2χ^2 (1)

Το 2ο μέλος είναι άρτιος επομένως θα πρέπει ο λ να είναι περιττός
Αλλά 0<κ<10 => 0<λ<5 => λ=1 ή λ=3
------------------------
Για λ=1 η (1) γράφεται
(2ν+1)*5 + 1 = 2χ^2 =>
10ν+6 = 2χ^2 =>
5ν+3 = χ^2
------------------------
Για λ=3 η (1) γράφεται
(2ν+1)*5 + 3 = 2χ^2 =>
10ν+8 = 2χ^2 =>
5ν+4 = χ^2
------------------------

Παίρνοντας όλα τα τετράγωνα στο modulo 5 βρίσκουμε
0^2 = 0
1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 4
4^2 = 1

Άρα μόνη αποδεκτή λύση για το λ είναι η λ=3 και επομένως κ=6

Η διαφορά είναι 10-6 = 4€.
Για να είναι δίκαιη η μοιρασιά θα πρέπει αυτός που πήρε το πρόβατο να δώσει στον άλλο 2€ (έτσι ώστε να έχουν και οι δύο από 8€)

Επομένως ο σουγιάς κοστίζει 2€
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ

Εκκολαπτόμενο μέλος

Ο. ..του πατρός ΜΠΛΟΥΜ και του υιου... αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 42 ετών. Έχει γράψει 323 μηνύματα.
Φοβερός Frappe (oh God, θα μπορούσε να είναι και καμάκι σε γκαρσόνα..).

Βάλε κι εσύ κανένα πρβλ.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

frappe

Νεοφερμένος

Ο frappe αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 36 μηνύματα.
Έστω p>3 πρώτος αριθμός. Να αποδειχθεί ότι ο p^2-1 είναι πολλαπλάσιο του 6
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Subject to change

e-steki.gr Founder

Η Λία αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 37 ετών και επαγγέλεται Web developer. Έχει γράψει 15,891 μηνύματα.
Έστω p>3 πρώτος αριθμός. Να αποδειχθεί ότι ο p^2-1 είναι πολλαπλάσιο του 6

Ο p δεν διαιρείται, ούτε με το 3, ούτε με το 2.
p^2 == 1(mod 2)
p^2 == 1(mod 3) (είτε αφήνει υπόλοιπο 1, είτε 2 με το 3, το τετράγωνο του αφήνει πάντα 1, μιας και 2^2=4==1(mod 3))

Βλέπουμε οτι 2|(p^2-1) & 3|(p^2-1).
Άρα 6|(p^2-1)

(σόρρυ που δεν το γράφω πολύ "αυστηρά", μόλις ξύπνησα)
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Archie

Νεοφερμένος

Ο Νικος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Επαγγέλεται Φοιτητής/τρια. Έχει γράψει 42 μηνύματα.
Έστω p>3 πρώτος αριθμός. Να αποδειχθεί ότι ο p^2-1 είναι πολλαπλάσιο του 6


καθε πρωτος p αφου δεν διαιρειτε με το 3 θα ειναι της μορφης 3κ + 1 ή 3κ + 2, αν ειναι 3κ +1 πρεπει ο 3κ να ειναι αρτιος αρα και ο κ αρτιος ετσι ωστε ο p να ειναι περριτος αφου ολοι οι πρωτοι μεγαλυτεροι του 3>2 ειναι περριτοι, εστω κ=2ν, τοτε p=3*2ν + 1 = 6ν + 1 και p^2 - 1 = 36ν^2 + 12ν + 1 - 1 = 6(6ν^2 + 2ν) = πολ6, αν p=3κ + 2 τοτε πρεπει ο κ να ειναι περριτος ωστε και ο p να ειναι περριτος, εστω p=2ν + 1, τοτε p= 3(2ν + 1) + 2 = 6ν + 3 + 2 = 6ν + 5 = 6ν + 6 - 1 = 6(ν + 1) - 1 και p^2 - 1 = 36(ν + 1)^2 - 12(ν + 1) + 1 - 1 = 6(6(ν + 1)^2 - 2(ν + 1)) = πολ6

αρα για καθε πρωτο μεγαλυτερο ισο του 2 ισχυει p^2 - 1 = πολ6
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

frappe

Νεοφερμένος

Ο frappe αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 36 μηνύματα.
Τώρα που το ξανακοιτάω διαιρείται και με 24

p^2-1 = (p+1)(p-1)

Αφού ο p είναι περιττός, καθένα από τα p+1 , p-1 διαιρείται με το 2. Μάλιστα, ο ένας από τους δύο θα διαιρείται με το 4
Άρα 8|p^2-1

Επίσης, μόνο ένας από τους διαδοχικούς αριθμούς p-1 , p , p+1 διαιρείται με το 3 και αυτός σίγουρα δεν είναι ο p. Επομένως είναι και 3|p^2-1

Τελικά, και επειδή οι 3, 8 είναι πρώτοι μεταξύ τους προκύπτει 24|p^2-1
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Mathmaniac

Νεοφερμένος

Ο Mathmaniac αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 17 μηνύματα.
Παιδιά καλημέρα... Εγώ δεν θα σας βάλω κάποια δύσκολη άσκηση (έτσι κι αλλιώς απ'ότι καταλαβαίνω δεν είμαι τόσο εξοικειωμένος με τα μαθηματικά όσο οι περισσότεροι από εσάς) αλλά θα ήθελα να μου δώσετε τα φώτα σας σε μια άσκηση που με προβληματίζει... Η άσκηση αυτή έπεσαι στα χέρια μου από το βιβλίο Θεωρία Αριθμών του μαθηματικού τμήματος του Ε.Κ.Π.Α. την έκανα και βρίσκω άλλο αποτέλεσμα από αυτό του βιβλίου και δεν μπορώ να καταλάβω πού κάνω το λάθος... Αν μπορείται γράφτε μου αναλυτικά τη λύση της... Ευχαριστώ:)
View attachment Να λυθεί η γραμμική ισοδυναμία.doc
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Archie

Νεοφερμένος

Ο Νικος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Επαγγέλεται Φοιτητής/τρια. Έχει γράψει 42 μηνύματα.
Παιδιά καλημέρα... Εγώ δεν θα σας βάλω κάποια δύσκολη άσκηση (έτσι κι αλλιώς απ'ότι καταλαβαίνω δεν είμαι τόσο εξοικειωμένος με τα μαθηματικά όσο οι περισσότεροι από εσάς) αλλά θα ήθελα να μου δώσετε τα φώτα σας σε μια άσκηση που με προβληματίζει... Η άσκηση αυτή έπεσαι στα χέρια μου από το βιβλίο Θεωρία Αριθμών του μαθηματικού τμήματος του Ε.Κ.Π.Α. την έκανα και βρίσκω άλλο αποτέλεσμα από αυτό του βιβλίου και δεν μπορώ να καταλάβω πού κάνω το λάθος... Αν μπορείται γράφτε μου αναλυτικά τη λύση της... Ευχαριστώ:)
View attachment 3433

Δεν ειμαι ακομα σε πανεπιστημιο, μολις τωρα τελειωσα τη Γ Λυκειου, αλλα επηδη μου αρεσουν τα μαθηματικα εχω διαβασει ορισμενα πραγματα απο Θεωρια Αριθμων. Παρ ολα αυτα ομως, δεν εχω ξαναδει ασκηση που να ζηταει την επιλυση μιας ισοτιμιας με 2 μεταβλητες, οποτε δεν εχω καταλαβει τι ακριβος ζηταει η ασκηση. Οταν λεει να λυθει ι ισοτιμια, μπορει να ενωει να λυθει ως προς χ_1 η ως προς χ_2, η ως προς και τις 2 μεταβλητες, στην εκφωνηση της ασκησης που δινεις δεν διευκρινιζεται αυτο... Αυτο που καταφερα να βγαλω παντος απο αυτην την ισοτιμια ειναι: χ_2 = 2κ, και χ_1 + κ = 2λ + 1, κ,λ: ακεραιοι, αλλα δεν νομιζω να λεει και πολλα αυτο...
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

io-io

Διάσημο μέλος

Η io-io αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Επαγγέλεται Μαθηματικός. Έχει γράψει 2,878 μηνύματα.
Τι αποτελεσμα βρισκεις δηλαδη mathmaniac?
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Mathmaniac

Νεοφερμένος

Ο Mathmaniac αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 17 μηνύματα.
Εντάξει παιδιά βρήκα το λάθος μου... Ευχαριστώ που ασχοληθήκατε πάντως γιατί αν δεν μου έβγαινε θα τρελαινόμουν:mad:...
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Συνημμένα

  • Η λύση της είναι οι εξής δυάδες.doc
    44 KB · Εμφανίσεις: 183

Tsipouro

Διάσημο μέλος

Ο Tsipouro αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 35 ετών, επαγγέλεται Κτηνίατρος και μας γράφει απο Σουηδία (Ευρώπη). Έχει γράψει 3,037 μηνύματα.
Ένα πρόβλημα που μου ήρθε προχθες όταν διάβαζα διακριτά (πρέπει να είναι ευκολούλι για τους Μαθηματικούς του forum).

Να βρεθεί το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι διαιρέτες του αριθμού 1400.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Tetragrammaton

Διάσημο μέλος

Ο Site Bot αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 35 ετών, επαγγέλεται Συνταξιούχος και μας γράφει απο Πειραιάς (Αττική). Έχει γράψει 2,671 μηνύματα.
1400=1*2*2*2*5*5*7

Άρα οι πρώτοι που το διαιρούν είναι το 1, το 2, το 5 και το 7. Πλήθος 4.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Tsipouro

Διάσημο μέλος

Ο Tsipouro αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Είναι 35 ετών, επαγγέλεται Κτηνίατρος και μας γράφει απο Σουηδία (Ευρώπη). Έχει γράψει 3,037 μηνύματα.
Edit: σωστό το έχεις.
 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

  • Τα παρακάτω 0 μέλη και 2 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα:
    Tα παρακάτω 1 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα:
  • Φορτώνει...
Top