λοιπον μια πολυ καλη ασκηση ....εχουμε 0<=α<b<=c
Να δειξετε οτι [(e^b)-(e^a)]/(b-a)<[[(e^c)-1]*(b+a)/2c]+1
Μιάς και το θέμα αναδύθηκε απο την άβυσσο της αιώνιας λήθης και το θυμηθήκαμε
Λοιπόν...
Υποθέτουμε ότι a=b(εκτός ορίων του προβλήματος)
έτσι καθώς (e^b - e^a)/(b-a) είναι ο μέσος όρος τιμών της e^x απο x=[a..b]
αν a = b τότε η παράσταση έχει τιμή e^b
Άρα έχουμε για σταθερό c, 2 συναρτήσεις του b:
την καμπύλη f(b) = e^b
και την ευθεία g(b) = (b/c) * (e^c-1) + 1
και οι δύο γνησίως αύξουσες
παρατηρούμε ότι
f(0) = g(0) και f(c) = g(c) είναι δύο ρίζες στην εξίσωση f(b)-g(b)=0
και αφού f(c+D) > g(c+D) D>0
διαπιστώνουμε ότι:
για 0 <= b <= c
g(b) >= f(b)
τώρα αν a < b
έχουμε G(a,b) = g(b-d/2)
όπου d = b-a
(1) όμως παρατηρούμε ότι:
(e^b - e^a)/d > e^(a+d/2)
και συγκεκριμένα η απόσταση μεταξύ του μέσου όρου των a,b
και του της τιμής στον άξονα των x του μέσου όρου (e^b - e^a)/d είναι σταθερή για συγκεκριμένο d
και ισούται με ln((e^d-1)/d) - d/2
άρα θεωρώντας ότι το σημείο x = (a+b)/2
προκειμένου να ισχύει G(a,b) > F(a,b)
πρέπει:
ln(x*(e^c-1)/c+1) >= ln((e^x-1)/x) + x/2
ας εξετάσουμε αυτή την ανίσωση:
EDIT
λάθος για x < 1,μέχρι στιγμής,αναμένεται διόρθωση)
η τιμή του ln(x*(e^c-1)/c+1) είναι τουλάχιστον c/2+D1+lnx>=0 όπου D1 μια σταθερά
η τιμή του ln((e^x-1)/x) + x/2 είναι τουλάχιστον x/2+x/2+D2=x+D2 όπου D2 μια σταθερά
καθώς το (e^x-1)/x είναι ο μέσος όρος τιμών της f(x) = e^x ο μέσος όρος θα απέχει όλο και
περισσότερο απο τον όρο e^(x/2) για κάθε χ' > x διότι η παράγωγος της e^x είναι γνησίως
αύξουσα(εδώ θέλει τυπική απόδειξη
),οπότε D1 > D2
άρα για 0<x<= c/2 η ανίσωση ισχύει
τώρα για x > c/2 το d έχει την αντίστροφη πορεία(c-x) καθώς αν το x είναι το (a+b)/2
αυτό προφανώς δεν μπορεί να έχει τιμή μεγαλύτερη του c/2 οπότε ισχύει και
για x > c/2.
