Λοιπον, αφού το θέμα απαντήθηκε, ας δώσω και μια διαφορετική λύση (αυτή που νόμιζα ότι θα πεί κάποιος τελικά)
Όταν εμφανίζεται αμφιβολία για την 1η παράγωγο, είναι λογικό να εξετάσουμε την... 2η - δλδ την κυρτότητα (ή όχι) της συνάρτησης
Η συνάρτησεις χ^α και α^χ είναι κοίλες - άρα το ίδιο συμβαίνει και με την φ(χ)=α^χ+χ^α. Αυτό δεν βγαίνει (σε καμμία περίπτωση) παραγωγίζοντας την φ, που είναι και η πρώτη πονηρή παρατήρηση για τη λύση
Επίσης, επειδή είναι πολύ ενοχλητικοί οι εκθέτες, λογαριθμίζουμε - η δεύτερη πονηρή παρατήρηση, καθώς και κάνουμε την ζωή μας ευκολότερη, και δεν χάνουμε την κοιλότητα της φ.
Εφ' όσον τελικά η logφ είναι κοίλη, έχουμε log[φ(βχ+(1-β)y)]>=βlog[φ(χ)]+(1-β)log[φ(y)]
για κάθε 0<β<1 και 0<=χ,y<=1. Η τελευταία γράφεται απλούστερα
φ(βχ+(1-β)y)>=[φ(χ)]^β*[φ(y)]^{1-β}
(--- ναι, εκμεταλλευτήκαμε το λογάριθμο στυγνά, και τον πετάξαμε σαν σκουπίδι μετά, για να μην λέει κανείς πως τα μαθηματικά δεν έχουν σχέση με την πραγματικότητα.)
και όπως έλεγα, αν χ=1 και y=0 στην τελευταία, έχουμε φ(β)>=φ(1)^{β}φ(0)^{1-β} ή
α^β+β^α > (1+α)^β --- δηλαδή αποδείχθηκε μια ισχυρότερη ανισότητα, και αυτό γιατί κάναμε ένα βρώμικο κόλπο με τον λογάριθμο (...και πάλι, η ζωή μιμείται τα μαθηματικά
)
Πρός τάνος:
Λοιπόν, πάμε στο άλλο με το κανονικό πολύγωνο. Δεν διευκρίνησα πως ο τύπος ισχύει για ν=4 και πάνω --- όπως και πρέπει, για να πάρουμε ένα όριο όταν το ν μεγαλώνει, και να αποδείξουμε τα υπόλοιπα με βάση το ότι η περιφέρεια του πολυγώνου τείνει στη περιφέρεια του κύκλου
Και όπως τα απάντησες όμως, δεν έχω αντίρρηση.
Α ναι ξέχασα! βρε αθεόφοβε, γιατί κάνεις την ζωή σου δύσκολη; Πάς στον μοναδιαίο κύκλο (αφού δεν το λέει ρητά η άσκηση) και R=1! Οπότε συμφωνούμε παλι στους τύπους. Άλλωστε θα μου έκανε εντύπωση να ήταν λάθος, πήρα την άσκηση από το "What is Mathematics" των Courant-Robbins, ή αλλιώς από την ...Βίβλο
Φρόντισε να μη αφήσεις αναξιοποίητο το αυθεντικό σου ταλέντο στα Μαθηματικά.
Τώρα με τιμάς και με υπερτιμάς ταυτόχρονα
Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια, αλλά τα μαθηματικά βλάπτουν σοβαρά την υγεία μου.
Προς παίκτης:
α τωρα διαβαζω ανωτερα μαθηματικα .τοπολογιες και ιστοριες!
Ρίξε θέματα να γουστάρουμε...
Λοιπόν περιμένουμε το επόμενο σετάκι με ασκήσεις (για να μην μουλιάσει ο εγκέφαλος από την ζέστη)... Αντιος!
