Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

[tanos56]

Τί εννοείς όταν λες "ολοκληρώσιμη"?. 'Οτι έχει αντιπαράγωγο σε διάστημα?
Αν είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemman, δεν σημαίνει κατ΄ανάγκη ότι είναι και συνεχής.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

συγνώμη μα η c^2 + log2 - c
δεν έχει Δ=1-4*1*ln(2) = -1.772588722;

Ουχ!!! Τι κοτσάνα πέταξα Ξέχασα να υπολογίζω τριώνυμα?!!! Πίσω στη β' γυμνασίου...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

4. Kλασσική Άλγεβρα

Να λυθεί στο R, η εξίσωση


(χ+8)(χ+3)(χ+4)(χ+9)=6.

Παρατηρούμε ότι 4+8=9+3
Έχουμε:
(χ+3)(χ+9)(χ+4)(χ+8)=6 =>
(χ^2+12χ+27)(χ^2+12χ+32)=6 (1)
Θέτουμε y=χ^2+12χ+27 οπότε η (1) γίνεται:
y(y+5)=6 => y^2+5y-6=0 => y=1 ή y=-6 =>
x^2+12x+27 = 1 ή
x^2+12x+27 = -6
Λύνουμε τα 2 τριώνυμα κατά τα γνωστά, οπότε προκύπτουν οι 4 λύσεις της εξίσωσης.

Επίσης υπάρχει και ο κλασσικός χαζός τρόπος, εφαρμογής τύπου (αν δεν κάνω λάθος μέχρι 4ου βαθμού υπάρχει τύπος).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Tι στόκμαν, ακόμα σκέφτομαι τι μ@λακία έκανα Η β' γυμνασίου με περιμένει...


Λοιπόν, κοίταξα (σοβαρά αυτή τη φορά) την απόδειξη, και έχω δυο παρατηρήσεις (ένα τριώνυμο ρε δε ξέρω... έλεος).

1) Η συνάρτηση c->a^c+b^c δεν είναι >1 για όλα τα a,b.

2) H σχέση a^b+b^a>a^c+b^c ισχύει για a,b<c. Tα a,b είναι σταθερές, το c μεταβάλλεται. Όταν λοιπόν στέλνεις το κέντρο ((1/2)^{-1/c},(1/2)^{-1/c}) στο (0,0), θεωρείς το όριο όταν c->0. Aυτό όμως δεν μπορεί να γίνει, χωρίς να παραβιάσουμε την σχέση a,b<c. (ένα τριώνυμο δε ξέρω... καλά πάμε)


Υγ. Ούτε ένα τριώνυμο... γέρασα ρε γμτ.

Υγ2. Θα δω το "crawling eye" για να ξεχάσω το πόνο μου.

(Η μια κοπέλα: "Πως το ήξερες αυτό;"
Η δεύτερη, που είναι μέντιουμ: "Κάπου θα το διάβασα..."
Ο κάφρος: Ναι! Στο σενάριο.)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Προς tanos: Μου άφησες μια περίπτωση απέξω!

Λες "α<1/e:
Αν χ>α, κλπ.
Aν x<α και χ<1/e, κλπ"

Τι συμβαίνει αν χ>1/e?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3nt0r]

1) Η συνάρτηση c->a^c+b^c δεν είναι >1 για όλα τα a,b.

2) H σχέση a^b+b^a>a^c+b^c ισχύει για a,b<c. Tα a,b είναι σταθερές, το c μεταβάλλεται. Όταν λοιπόν στέλνεις το κέντρο ((1/2)^{-1/c},(1/2)^{-1/c}) στο (0,0), θεωρείς το όριο όταν c->0. Aυτό όμως δεν μπορεί να γίνει, χωρίς να παραβιάσουμε την σχέση a,b<c. (ένα τριώνυμο δε ξέρω... καλά πάμε)

φίλε Rempeske παραθέτω δύο εικόνες για καλύτερη κατανόηση αυτού που έγραψαμ καθώς στις αποδείξεις είμαι τελείως ματσούκι(οι εικόνες δεν σημαίνουν απόδειξη φυσικά :p)

τι σημαίνουν τώρα τα παραπάνω;

έχουμε τις implicit συναρτήσεις

f = a^c + b^c = 1
g = a^c + b = 1

οι οποίες είναι σε παραμετρική μορφή

f(b) = (1-b^c)^(1/c)
g(b) = (1-b)^(1/c)

οπότε στην τομή του χώρου οπου οι αντίστοιχες παραμετρικές a^c+b^c και a^c + b >1 (πάνω απο τις implicit καμπύλες δηλαδή δεν είπαμε ότι κάνουν παντου 1) με το χωρία στο οποία ξέρουμε ότι η a^b + b^a είναι μεγαλύτερη απο αυτές έχουμε αποδείξει οτι στα σημεία αυτά a^b + b^a > 1 οπότε το c είναι η σταθερά κάθε φορά στην συνάρτηση f(a,b) του επιπέδου και κινώντας το(προηγούμενο post) αποδεικνύουμε για όλο τον χώρο.(οι χρωματισμένες περιοχές στα σχήματα,διαφορετικό χρώμα για f(b) και g(b))

τα χωρία είναι:

f(b) = (1-b^c)^(1/c) < a^b + b^a αν b<c && a<c
g(b) = (1-b)^(1/c) < a^b + b^a αν b<c

οπότε για διαδοχικά c στο [1,0] μπορούμε να δείξουμε ότι a^b+b^a > 1

φυσικά δεν έχω καταφέρει να το εκφράσω ακόμη σε formal μορφή.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Ρε Rembeske!

Παππούς είμαι...
Κάντο... βγαίνει αμέσως:

Αν όπως λες :α<1/e<x, τότε επειδή η πολυωνυμική χ^α είναι γνησίως αύξουσα:
θα είναι χ^α>α^α (1)
Επειδή δε α<1/e και η εκθετική χ^χ, στο διάστημα αυτό είναι γνησίως φθίνουσα (αφού α<1/e), θα είναι: α^α>((1/e)^1/e)>1 (2)
Από (1),(2), προκύπτει: χ^α>1, άρα πολύ περισσότερο και χ^α+α^χ>1.

Δεν μου απάντησες για την ανισότητα με τα ολοκληρώματα....σχετικά με την εκφώνηση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Κακή Επιρροή]

εδώ και μέρες θέλω να σας το πω και θα το πω τώρα....

Η τελευταία φορά που ασχολήθηκα με μαθηματικά ήταν πριν 18 χρόνια....
Πλέον δεν θυμάμαι απολύτως τίποτα κι όσα βλέπω να γράφετε εδώ μέσα, για μένα είναι αντίστοιχα με κινέζικα....
Παρόλα αυτα... μπαίνω και σας διαβάζω καθημερινα... σας θαυμάζω και σας ζηλεύω (με την καλή έννοια )

Tanos... μακάρι όταν πήγαινα σχολείο να υπήρχε στο περιβάλλον μου κάποιος μαθηματικός σαν εσένα.... είμαι σίγουρη ότι η ζωή μου θα είχε πάρει διαφορετική πορεία....
Συνέχισε αυτό που κάνεις γιατί είναι προφανές ότι το αγαπας πολύ και το κάνεις καλα!
Η παιδεία ξεκινάει πριν τους αριθμούς και δεν σταματάει σε αυτούς... αυτό δείχνεις να το γνωρίζεις καλά... μπράβο σου και πάλι μπράβο σου....
Εχεις την αμέριστη εκτίμηση μου ακόμα και αν δεν σου λέει τίποτα απολύτως αυτό.
Εύχομαι τουλάχιστον τα παιδιά μου στο μέλλον να συναντήσουν στην μαθητική τους πορεία ανθρώπους σαν εσένα.


Συγγνώμη για το οφφ τοπικ αλλα αν δεν τα έλεγα θα έσκαγα

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

M3ntor:

πότε για διαδοχικά c στο [1,0]

Θα χάσεις τα α,β όμως αν μειώσεις το c!



Tanos:

Ρε Rembeske!
Παππούς είμαι...

Έεεεεεελα με τις δικαιολογίες! Σαν παλαίμαχος έχεις περάσει χειρότερα.

Κάντο... βγαίνει αμέσως:
Αν όπως λες :α<1/e<x,

Και όμως δε βγαίνει για χ>1/e.

Δεν μου απάντησες για την ανισότητα με τα ολοκληρώματα

Oυπς, ναι. Να υπάρχει το ολοκλήρωμα της.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3nt0r]

M3ntor:


Θα χάσεις τα α,β όμως αν μειώσεις το c!
.

Μα δεν μας ενδιαφέρει για όλα ταυτόχρονα με ένα c ! μια φορά χρειάζεται να αποδείξουμε για κάθε σημείο a,b οτι a^b + b^a > 1.

Με κάθε c αποδεικνύουμε και για άλλο κομμάτι του επιπέδου a,b e[0,1].

κοίταξε ενδεικτικά τις εικόνες, όταν αποδείξουμε ότι a^c+b^c ή a^c +b > 1 και a^b+b^a > a^c+b^c ή a^c +b αντίστοιχα για κάποιο a,b δεν μας ενδιαφέρει να είναι και στο επόμενο c απλώς πρέπει τυπικά να αποδειχτεί οτι διαδοχικά καλύπτεται όλος ο χώρος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Rembeske

Mη με τρελαίνεις. Δες σοβαρά την απόδειξη που σου έστειλα.
H :
y=a^x+x^a

παριστά μονοπαραμετρική οικογένεια συναρτήσεων, η οποία για α>1/e, είναι οικογένεια-όπως σου απέδειξα-γνησίως αυξουσών συναρτήσεων για κάθε x στο (0,1).

Για α<1/eυπάρχουν τρεις περιπτώσεις, για κάθε μία από τις οποίες αποδεικνύουμε ότι η ανισότητα , είναι αληθής.

Επειδή δε, η οικογένεια, είναι οικογένεια συνεχών συναρτήσεων, τις περιπτώσεις του «=» λάβε τες κατά βούληση.
Δες το με προσοχή στο αρχείο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Κακή επιρροή.

Σ΄ευχαριστώ για τα λόγια σου και τα παιδιά σου, σίγουρα, θα πάνε μπροστά, γιατί έχουν έναν πατέρα που ενδιαφέρεται τόσο.

Ωστόσο δεν είμαι από αυτούς που με "άγγιξε ο θεός" στα Μαθηματικά. Υπάρχουν άλλοι πολύ πιο ικανοί από μένα.
Αν γνώριζες τον Δάσκαλό μου Θ. Καζαντζή, θα καταλάβαινες...
Πασχίζω να δω αν υπάρχει τρόπος να περάσω ένα video, στο στέκι, όταν ενώπιον του Υπουργού, μίλησε για την ταλαίπωρη Ελληνική Παιδεία.

Ποτέ δεν ασχολήθηκε μόνο με τους "προικισμένους " μαθητές, όπως π.χ ο Rembeskes, που σίγουρα θα ήταν η "αδυναμία" όλων των Μαθηματικών του. Ασχολήθηκε, ακόμα και με κείνα τα παιδιά, με τα τατουάζ και τα σκουλαρίκια, δείχνοντάς τους αγάπη και ενδιαφέρον. Έστω και σ΄αυτή την ηλικία όλοι οι μαθητές του, νοιώσαμε ότι ορφανέψαμε για δεύτερη φορά, όταν "έφυγε"...
Αν και τελευταία είχε οικονομικό πρόβλημα, πάντα εύρισκε το τρόπο να στέλνει χρήματα στην μεγάλη του αγάπη.

Στα παιδιά της Αφρικής.

Επί τη ευκαιρία αναφέρω το ποίημα που του έγραψα, όταν τον αποχαιρετούσαμε στη Θεσσαλονίκη τρεις γενιές μαθητών του ...


Κι αίφνης τα χαμόγελά μας στερέψανε...
Κι απόμειναν τα μάτια μας, μόνο,
να αγναντεύουν τα μονοπάτια της γνώσης
που άλωσεν η σκέψη σου..

Μήτε φτερούγισμα (πένθιμο) πουλιών
μήτε ουρλιαχτό αδέσποτου που με φροντίδα έθρεφες
κι ούτε θρόισμα φύλλων εσπερινό
μηνύσαν το φευγιό σου.

Γιατί κατά πως τόθελες γίνηκε...
Χωρις γιατρούς και Νοσοκομεία καταθλιπτικά...
Μα μοναχικός όπως πάντα κι υπέροχος..
Σε μαρκαδόρους σκόρπιους ανάμεσα,
και σε χαρτιά τσαλακωμένα
που δεν τέλεψαν.

Πόση τιμή και πόση μνήμη σου αξίζουν, τώρα που μίζεροι απέβησαν οι καιροί
κι αμύδρεψεν το φως της γνώσης.
Τώρα που που μόνοι μείναμε και σκεπτικοί
των Φαρισσαίων την επιβουλή διαισθανόμενοι....

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

tanos56, όταν η κακη επιρροή κάνει παιδιά δεν θα είναι πατέρας αλλά μανούλα Γυναίκα είναι καλέ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

μεντωρ:

όταν αποδείξουμε ότι a^c+b^c ή a^c +b > 1 και a^b+b^a > a^c+b^c ή a^c +b αντίστοιχα για κάποιο a,b δεν μας ενδιαφέρει να είναι και στο επόμενο c απλώς πρέπει τυπικά να αποδειχτεί οτι διαδοχικά καλύπτεται όλος ο χώρος.

Mα χάνεις τα αρχικά α,β όταν μειώσεις πολύ το c! Bασικά απέδειξες ότι υπάρχουν άπειρα α,β με α^β+β^α>1, και πρέπει μάλιστα να ικανοποιούν την α^χ+β^χ>1, η οποία δεν ισχύει παντα.



τανος:

Δες σοβαρά την απόδειξη που σου έστειλα.

Τώρα μάλιστα, το ξεδιάλυνα στο μυαλό μου τι εννοείς!

Οποτε, για α<1/e, δεν έχω αμφιβολία.

Κοιτώντας όμως (με καφέ) τη περίπτωση α<1/e, πρόσεξα πως "η φ(χ)=χ^{α-1}/α^χ δεν μπορεί να λάβει την τιμή (τάδε), γιατί έχει ολικό μέγιστο στο χ=1 ίσο με 1/α".
Αλλά το limφ(χ)=άπειρο όταν χ->0, οπότε λαμβάνει την τιμη (τάδε) για μικρά χ!
Έτσι δεν είναι;

με τους "προικισμένους " μαθητές, όπως π.χ ο Rembeskes

Ναι αμέ, "ολικό μέγιστο" στους βαθμούς μου το 14.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Αυτό που λες, στείλτο σε αρχείο, να μην παρεννοήσω συμβολικά κάτι.
Εγώ απλά σου είπα να δεις την απόδειξη και να μου πεις αν σε κάποιο βήμα της, έχεις "ένσταση".
Θα ασχοληθώ απόψε με το ολοκλήρωμα.

Για την ΚΑΚΗ ΕΠΙΡΡΟΗ ,τάκανα όπως πάντα "θάλασσα"!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Κακή Επιρροή]

Τanos σου εύχομαι κάθε φορά που τα κάνεις "θάλασσα" να είναι αυτής της αξίας .... κοινώς μηδαμινή!


Δεν τρέχει τίποτα με το μπέρδεμα....

Να είσαι καλά όμως για τα λόγια σου αλλά κυρίως για την προσπάθεια που κάνεις εδώ μεσα!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3nt0r]

μεντωρ:


Mα χάνεις τα αρχικά α,β όταν μειώσεις πολύ το c! Bασικά απέδειξες ότι υπάρχουν άπειρα α,β με α^β+β^α>1, και πρέπει μάλιστα να ικανοποιούν την α^χ+β^χ>1, η οποία δεν ισχύει παντα.

στην αριστερή εικόνα ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΓΙΑ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ A(και γενικά για όλη την τομή), στην δεξιά για το σημείο B, δεν μας ενδιαφέρει που το Α δεν είναι στην 2η η το B στην 1η, ο συνδυασμός και των δύο c είναι η απόδειξη και για τα δύο σημεία (A,B),το θέμα είναι αν για c e [0,1] η ένωση των τομών που αποδεικνύεται είναι το ίδιο το σύνολο a,b e S{ |0 > a,b < 1}

Δηλαδή αποδείξαμε στο σημείο A ότι a^b + b^a > 1
ΚΑΙ στο σημείο B το ίδιο με δύο διαφορετικα c και παίρνουμε την ένωση αυτής της απόδειξης.
Το ότι στο Α δεν αποδεικνύεται με την δεύτερη τιμή του C δεν αλλάζει ότι έχει αποδειχτεί με την πρώτη.




Σε όλα τα post μου μιλάω για την μη ταυτόχρονη απόδειξη με ένα c αλλά για κάλυψη του επιπέδου με c e [0,1]

Η a^c+b^c>1 a^c + b >1ΙΣΧΥΟΥΝ ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΑΜΠΥΛΗ οπως έγραψα και στο προηγούμενο Post mou.

φυσικά δεν προσπαθώ να αποδείξω κάτι με γραφικές παραστάσεις,αλλά να κατασκευάσω μια τυπική απόδειξη η οποία δεν θα χρησιμοποιεί διαφορικό λογισμό,(σκεφτείτε πως θα λυνόταν το πρόβλημα πριν την ανακάλυψη του διαφορικού λογισμού,κάτι τέτοιο προσπαθώ)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Εμένα γιατί δεν μου απάντησε κανείς;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

m3nt0r:

κάλυψη του επιπέδου με c e [0,1]

Χμ... Συγκάλυψη είναι αυτό που πας να κάνεις! Πρέπει να είναι μεταβλητά και τα α,β και το c...

απόδειξη η οποία δεν θα χρησιμοποιεί διαφορικό λογισμό,(σκεφτείτε πως θα λυνόταν το πρόβλημα πριν την ανακάλυψη του διαφορικού λογισμού,κάτι τέτοιο προσπαθώ)

...Τι σου έχει κάνει και τον σνομπάρεις;;


tanos:

Αυτό που λες, στείλτο σε αρχείο, να μην παρεννοήσω συμβολικά κάτι.

Έλα μωρε που θα καθόμαστε να ανεβάζουμε αρχεία πρωί πρωί, καλύτερα έτσι στο μήνυμα...

Λέω πως το

οπότε η σχέση

θα έχει πάντα λύση, και άρα δεν είναι γν. αύξουσα για α>1/e.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Εμένα γιατί δεν μου απάντησε κανείς;

...Τι ρώτησες;



υγ.Σωστό είναι.

υγ2. Ο τανος είναι ο αρμόδιος βέβαια.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.