Θεωρώ ότι ως τυχαίο σπάσιμο εννοούμε την τυχαία επιλογή δύο αριθμών χ και y, οι οποίοι ακολουθούν ομοιόμορφη κατανομή στο (0,1). Τα τρία κομμάτια που σχηματίζονται είναι (αν πχ. χ<y) τα [0,χ), (χ,y) και (y,1].
Τρίγωνο σχηματίζεται μόνο αν και τα τρία κομμάτια ταυτόχρονα έχουν μήκος μικρότερο του 1/2. Πράγματι αν κάποιο από τα τρία τμήματα έχει μήκος S μεγαλύτερο του 1/2 τότε τα υπόλοιπα δύο θα έχουν άθροισμα 1-S, μικρότερο δηλαδή από το πρώτο μήκος και έτσι δεν θα ισχύει η τριγωνική ανισότητα.
Εκτελούμε το τυχαίο πείραμα:
Επιλέγουμε με τυχαίο τρόπο από ομοιόμορφη κατανομή τον πρώτο από τους δύο αριθμούς χ.
Αν είναι μικρότερος του 0.5, προκειμένου και τα τρία κομμάτια να έχουν μήκος μικρότερο του 1/2 θα πρέπει ο δεύτερος αριθμός y να πέσει στο [0.5, 0.5+χ].
Αν είναι μεγαλύτερος του 0.5, προκειμένου και τα τρία κομμάτια να έχουν μήκος μικρότερο του 1/2 θα πρέπει ο δεύτερος αριθμός y να πέσει στο [x-0.5, 0.5].
Το ζεύγος τον αριθμών (x,y) μπορεί να είναι ένα οποιοδήποτε σημείο του τετραγώνου [0,1]x[0,1]. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, τρίγωνο θα σχηματιστεί αν το (χ,y) πέσει σε ένα από τα τρίγωνα
0 < x < 0.5, 0.5 < y <0.5+x με εμβαδόν 1/8, ή
0.5 < x < 1, x-0.5 < y < 0.5 με εμβαδόν 1/8 επίσης.
Επειδή μιλάμε για ομοιόμορφη κατανομή των τυχαίων μεταβλητών, η πιθανότητα ο σχηματισμός τριγώνου να είναι δυνατός θα δίνεται από τον λόγο του συνολικού εμβαδού των δύο τριγώνων προς το εμβαδόν του τετραγώνου, δηλαδή 1/4 ή 25%.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
