Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

[Subject to change]

Α οτσει. Απλά έχω τόσο καιρό να τα πιάσω που και το παραμικρό φοβάμαι μην είναι λάθος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Kαι τι έγινε αν είναι λάθος; Λάθη είμαστε, ανθρώπους κάνουμε...



Εδώ ο μέντωρ δεν ήξερε να βρει τη διακρίνουσα στο τριωνυμο (... )




υγ. Μεντωρ: Για να δούμε, σαν κάτι να φαίνεται στη κάλυψη...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3nt0r]

m3nt0r:


Χμ... Συγκάλυψη είναι αυτό που πας να κάνεις! Πρέπει να είναι μεταβλητά και τα α,β και το c...

ε ναι , έχουμε όλη την οικογένεια συναρτήσεων

f(a,b) = a^c + b^c για c=[0,1]
g(a,b) = a^c + b για c=[0,1]

Εδώ ο μέντωρ δεν ήξερε να βρει τη διακρίνουσα στο τριωνυμο (... )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DiavolakoS]

θελω να μου δωσετε την αποδειξη σε μια ασκηση οχι για να σας δοκιμασω αλλα για μενα τη θελω. Την ειχα σε ενα βιβλιο λογισμου 1 που μαλλον εχω χασει οποτε τη βοηθεια σας.Λοιπον αν χ1,χ2 ειναι πραγματικοι αριθμοι να δειξετε οτι υπαρχουν απειρου πληθους ρητοι και αρρητοι στο ανοιχτο διαστημα (χ1,χ2). οπως καταλαβατε τωρα αρχισα να διαβαζω για το πανεπιστημιο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DiavolakoS]

Άντε κυρ τανο που σαι περιμένω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Nα προσφέρω μια χείρα;
Λοιπόν... Έχουμε τυχαίο διάστημα (α,β), και θέλουμε νδο υπάρχουν άπειροι ρητοί και άπειροι άρρητοι.

Οκ, θα μπορούσε να είναι χειρότερα. Ώρα για πονηρή σκέψη (όχι κυριολεκτικά).



->Πρώτη σκέψη: Αν βρούμε στο (α,β) έναν ρητό (ή άρρητο) γ, τότε επαναλαμβάνουμε το επιχείρημα στο διάστημα (α,γ) και βρίσκουμε έναν ακόμα δ, μετά στο (δ,γ) μέχρι να βρούμε έναν ακόμα ε, και ούτω καθεξής μέχρι το άπειρο (βασικά, μέχρι να μας τελειώσει το αλφάβητο) και έτσι θα έχουμε δείξει ότι υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί εντός του (α,β).

Αυτός ο τρόπος είναι κάπως αλ(ο)γοριθμικός, και απόλυτα φυσιολογικός για όσους ασχολούνται με άσκοπα παιχνίδια (όπως η κβαντική, ο προγραμματισμός η/υ, οι φοιτητικές εκλογές).

Επειδή όμως τέτοια θέματα μπορεί να σε κάνουν να τα αγαπήσεις, άρα δεν πρέπει να παίζεις μαζί τους, χρειάζεται να τα κοιτάξουμε με το αδιάφορο και απόμακρο μάτι της Θεωρίας. Άσε που -έτσι για να γουστάρουμε- είναι καλύτερο να βρούμε άπειρους ρητους/άρρητους στο διάστημα - να τους κατασκευάσουμε, να τους ταυτοποίησουμε, και μετά να τους στείλουμε από κει που ήρθαν. Οπότε καταλήγουμε...
->Δεύτερη σκέψη: Ωμή βία.
(Θα τους κατασκευάσουμε, θέλουν δε θέλουν).


->Τρίτη σκέψη: Με άτοπο... Όμορφα και τακτοποιημένα, για να ξεμπερδεύουμε, έχουμε και δουλειές.


->Tέταρτη σκέψη: Αρκέτα με τα λόγια.


Πάμε να κατασκευάσουμε άπειρους ρητούς/άρρητους. Χρειαζόμαστε το ακόλουθο...
Δεδομένο: Αν μια δεκαδική παράσταση τερματίζεται/είναι περιοδική, τότε και μόνο τότε, πρόκειται για ρητό.
Θεωρούμε τις δεκαδικές παραστάσεις των α,β:

Υπάρχουν πολλοί τρόποι να δημιουργήσουμε ρητούς/άρρητους... Αλλά ένας με ελάχιστο κόπο.
Επειδή α<β, υπάρχει δείκτης κ με τα αντίστοιχα ψηφία α_κ<β_κ. Τότε, οι αριθμοί

ανήκουν στο διάστημα, είναι ρητοί (τερματίζεται η παράσταση) και είναι και άπειροι (παρεπιπτόντως, ακόμα μερικές φορές μετράω με τα δάχτυλα, και γινομαι ρόμπα).

Για άρρητους, χρειάζεται να προσέξουμε λίγο τι γίνεται με τα άκρα. Αν δεν τερματίζεται η παράσταση του β, μπορούμε να θεωρήσουμε τον αριθμό

ο οποίος δεν είναι περιοδικός, άρα είναι άρρητος. Συνεχίζουμε με αυτό το τρόπο (αν θέλουμε δηλαδή, δεν μας αναγκάζει κανείς.)



Kαι ένα άτοπο, για το καλό. Έστω ότι το διάστημα (α,β) περιέχει πεπερασμένο πλήθος ρητών και αρρήτων. Τότε, και το ίδιο το διάστημα θα έχει πεπερασμένο πλήθος σημείων.
Αλλά, υπάρχει συνάρτηση φ: (0,1)->(α,β) η οποία είναι 1-1 και επί, και συνεπώς το (0,1) είναι ισοπληθές με το (α,β), δηλαδη έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Άτοπο (...και η αυλαία πέφτει, να βγάλουμε το μεηκ απ επιτέλους και να πάμε σπίτι...)


Μιας και μου άρεσε η ιστορία με τα άτοπα, ακόμα ένα. Έστω ότι οι διακεκριμένοι ρητοί του (α,β) είναι οι χ_1,χ_2,...,χ_κ, και μόνο. Τότε, ο αριθμητικός τους μέσος είναι ρητός (όσο δε πάει) και διαφορετικός από τα χ_1,χ_2,...,χ_κ, άτοπο...

(Γιατί αυτό δεν ισχύει και με τους άρρητους;... Ή ισχύει και απλά ξέχασα να κάνω πράξεις;...)



Για τους άρρητους τώρα. Έστω ότι είναι οι χ_1,χ_2,...,χ_κ και μόνο. Από αυτούς, επιλέγουμε έναν (αλγεβρικό έστω), χ. Τότε ο χ^{sqrt(2)} είναι (υπερβατικός) άρρητος. Για κατάλληλο ρητό λ, ο λ*χ^{sqrt(2)} ανήκει στο διάστημα και διαφέρει από τους υπόλοιπους, άτοπο πάλι...

Eδιτ: Βιάστηκα. Αν είναι αρνητικός, πάμε σε διαδοχικές περιτές ρίζες, μέχρι να βρούμε έκ νέου αλγεβρικό άρρητο (αλλιώς δεν ήταν αλγεβρικός εξ' αρχής).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DiavolakoS]

ευχαριστω για τις σκεψεις σου ρεμπεσκε. Μου αρεσε η σκεψη με τον αριθμητικο μεσο..κατι θυμαμαι για την πυκνοτητα των πραγματικων και ενα αξιωμα που λεει οτι οσοδηποτε κοντα σε ενα ρητο μπορεις να βρεις εναν αρρητο και οτι αναμεσα σε δυο ρητους υπαρχουν απειροι αρρητοι και μαλιστα παρολο που ειναι απειροι σε πληθος και ρητοι και αρρητοι , οι αρρητοι ειναι περισσοτεροι! ολα αυτα τα θυμαμαι δυστυχως ακομα δεν μπορω να βρω το βιβλιο. παντως ευχαριστο που απαντησες..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Άπειροι ασύμμετροι....
Eπειδή κάθε σύνολο -διάστημα-έχει τη "δύναμη του συνεχούς"......

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DiavolakoS]

Άπειροι ασύμμετροι....
Eπειδή κάθε σύνολο -διάστημα-έχει τη "δύναμη του συνεχούς"......

εισουν πολυ διαφωτιστικός! ευχαριστω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Michelle, σου είχα απαντήσει για την λύση που πρότεινες στην πολυωνυμικη εξίσωση. Ήταν σωστή. Ίσως χάθηκε η απάντησή μου σε κάποια επεξεργασία.
Ζητώ συγνώμη.


Rembeske

Kάτι πρέπει να ξέχασες στην ανισότητα των ολοκληρωμάτων. Δες το αρχείο που σου στέλνω.

Για τους φίλους:

Υπάρχουν 6 ασκήσεις στον "αέρα"
Θα λυθούν πρώτα όλες αυτές (Διορία μέχρι την Παρασκευή) και μετά να δοθούν νέα θέματα.

io- io, Μichelle,Palladin, m3ntOr μου φαίνεται ότι το "ρίξατε" πολύ στην διασκέδαση!
Τουλάχιστον εύχομαι να αξίζει το κόπο...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Μα δεν έχουμε προκαθορίσει το διάστημα ολοκλήρωσης να είναι το R...
Αν το θεωρήσεις έτσι, δεν μπορείς να διαλέξεις f(χ)=x, γιατί το ολοκλήρωμά της στο R δεν υπάρχει.

Διορία μέχρι την Παρασκευή

A μην τους πιέζεις, καλοκαίρι είναι...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Tι εννοείς το ολοκλήρωμα της f(χ)=χ, στο R δεν υπάρχει. Η φ(χ)=(χ^2)/2 είναι μία παράγουσα της f στο R, με συνέπεια το αόριστο ολοκλήρωμα της f στο R, να είναι το σύνολο:

{(χ^2)/2+c, c στο R}.

Aλλά εν πάσει περιπτώσει, ποιό είναι το σύνολο ορισμού της αποδεικτέας ανισότητας?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Tι εννοείς το ολοκλήρωμα της f(χ)=χ, στο R δεν υπάρχει.

Αριθμητικά. Δεν έχω σημείωσει άκρα ολοκλήρωσης, γιατί η σχέση ισχύει οπουδήποτε το ολοκλήρωμα έχει νόημα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Αν εννοείς ότι πρόκειται για ορισμένο ολοκλήρωμα, θα πρέπει να σημειώσεις τα άκρα, γιατί για αόριστα δεν ισχύει. Για συγκεκριμένο χ, πάντα μπορούμε να εκλάβουμε αυθαίρετη σταθερά στο πρώτο ολοκλήρωμα, τέτοια, ώστε η ανισότητα να μην ισχύει. (Το πρώτο μέλος είναι απειροσύνολο και το δεύτερο συγκεκριμένη τιμή συνάρτησης).

Πως ήταν ήταν η άσκηση με ορισμένα ολοκληρώματα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Οποιοδήποτε διάστημα όπου έχει νόημα το ολοκλήρωμα.

(Ακόμα και ολόκληρη η ευθεία, αλλά τότε η f(χ)=χ απορρίπτεται, ενώ η f(χ)=exp(-|χ|) μας κάνει)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Ένα τραγουδάκι που (καρα)μελοποιήσαμε με τον φίλο μου τον ανδρέα, το 2003, από τότε έχω να τον δώ βασικά... (Ο ανδρέας προσέφερε τα θεωρήματα, εγώ τη τεκίλα, και το ελεεινό αποτέλεσμα μας δικαίωσε )


Complex Love...

(...δηλαδη, αγαπη με κομπλεξ )


"... Σε ειδα στην ακροθαλασσια
Με ελαχιστικο μπικινι (1)
Και απο τοτε στη καρδια
Υπολοιπο Cauchy εχεις μεινει...


... Στον καψα του καλοκαιριου
Εμοιαζες ολομορφη, ετσι λιαστη
Μα οταν σε ολοκληρωσα
Βρηκα ριζες στο παρονομαστη...


... Η αγκαλια μου ηταν
Καμπυλη απλη και κλειστη
Μα απο μεσα ξεφυγες
Χαρη στου μεγιστου την αρχη...

... Ηταν τοσο ψευτικα
Οσα μου ειχες φερει
Και ο φτωχος απεμεινα
Με το Cauchy στο χερι... "


(1) με ελάχιστο εμβαδόν.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Οι λύσεις όλων των ασκήσεων.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Μια παρατήρηση στην α^β+β^α>1. Η φ(χ)=χ^λ-λχ έχει παράγωγο θετική, αφού

οπότε δεν ισχύει ο συλλογισμός.

Νοιώθω καλύτερα που αντιμετωπίζουμε όλοι πρόβλημα...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Για ξαναδέστο καλύτερα αυτό που λες...
Μη βιάζεσαι
Για χ>1 και για χ<1 αλλάζει το πρόσημο...
Η απόδειξη είναι σωστή. Δες την με προσοχή...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Για χ>1

Oυχ!! Πρέπει να αλλάξω φακούς επαφής επει-και-γόντως.

Η απόδειξη είναι σωστή.

Είναι! Συγχαρητήρια!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.