Ασκησούλες δικής μας εμπνεύσεως!

[io-io]

προφανώς καταλήγουμε πάλι στο ερώτημα αν το 0,99999999=1
και τα λοιπά και τα λοιπά που έχουν ήδη αναλυθεί

Γιαυτο ειπα οτι σιγα μην ειναι τοσο απλο!

Εγω προφανως συμφωνω οτι ισχυει για καθε Χ!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[nicotine_kills]

Μια απλή και μάλλον χαζούλικη που μου προέκυψε στα γρήγορα τώρα που έγραφα javascript:
Έστω η μεταβλητή χ που παίρνει ακέραιες τιμές, είτε a, είτε a+1. (a+1>0)
Να βρεθεί y=f(x) ούτως ώστε f(a)=a+1 και f(a+1)=a, χρησιμοποιώντας μόνο τους τελεστές +,-,/,*,ρίζα και απόλυτη τιμή.

ΥΓ: Η λύση (αυτή που σκέφτηκα τουλάχιστον) είναι αρκετά απλή, απλά μου άρεσε και το πόσταρα.

Michelle,έχω την εντύπωση οτι αυτό που περιγράφεις δεν είναι συνάρτηση γιατί στέλνει κάθε τιμή εισόδου σε 2 τιμές εξόδου. π.χ για α=2 τη στέλνει στις τιμές 1 και 2.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Michelle,έχω την εντύπωση οτι αυτό που περιγράφεις δεν είναι συνάρτηση γιατί στέλνει κάθε τιμή εισόδου σε 2 τιμές εξόδου. π.χ για α=2 τη στέλνει στις τιμές 1 και 2.

Όχι.
Για a=2, προφανώς f(2) = 3 και f(3) = 2.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[nicotine_kills]

Όχι.
Για a=2, προφανώς f(2) = 3 και f(3) = 2.

Ναι αλλά ισχύει επίσης ότι f(1)=2 και f(2)=1 αρα f(2)=1 και f(2)=3.κ.ο.κ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Ναι αλλά ισχύει επίσης ότι f(1)=2 και f(2)=1 αρα f(3)= f(1).κ.ο.κ

Καταρχάς, το πεδίο ορισμού είναι 2 διαδοχικοί ακέραιοι, οπότε δεν παίζει να είναι και το 1 και το 3.
Κατα δεύτερον, ακόμα και έτσι όπως λες να ήταν, μπορούσες πολύ πιο απλά να αποδείξεις ότι δεν θα έστεκε:

Αρκεί να έλεγες ότι αν ίσχυε αυτό, για κάθε α, τότε θα έπρεπε να ισχύει ταυτόχρονα f(a) = a+1 & f(a+1) = a => f(a) = a+1 & f(a) = a-1 => a+1 = a-1 => 1=-1 άτοπο.
​

Έτσι όπως το είπες εσύ, δεν έφερες καμία αντίφαση, απλά είπες ότι δεν θα ήταν 1-1

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[nicotine_kills]

Καταρχάς, το πεδίο ορισμού είναι 2 διαδοχικοί ακέραιοι, οπότε δεν παίζει να είναι και το 1 και το 3.
Κατα δεύτερον, ακόμα και έτσι όπως λες να ήταν, μπορούσες πολύ πιο απλά να αποδείξεις ότι δεν θα έστεκε:

Αρκεί να έλεγες ότι αν ίσχυε αυτό, για κάθε α, τότε θα έπρεπε να ισχύει ταυτόχρονα f(a) = a+1 & f(a+1) = a => f(a) = a+1 & f(a) = a-1 => a+1 = a-1 => 1=-1 άτοπο.
​

Έτσι όπως το είπες εσύ, δεν έφερες καμία αντίφαση, απλά είπες ότι δεν θα ήταν 1-1

Έκανα διόρθωση.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Έκανα διόρθωση.

Όπως και να χει, το πεδίο ορισμού είναι μόνο 2 διαδοχικοί ακέραιοι, οπότε no prob. Λύσε την άσκηση τώρα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[nicotine_kills]

Καταρχάς, το πεδίο ορισμού είναι 2 διαδοχικοί ακέραιοι, οπότε δεν παίζει να είναι και το 1 και το 3.
Κατα δεύτερον, ακόμα και έτσι όπως λες να ήταν, μπορούσες πολύ πιο απλά να αποδείξεις ότι δεν θα έστεκε:

Αρκεί να έλεγες ότι αν ίσχυε αυτό, για κάθε α, τότε θα έπρεπε να ισχύει ταυτόχρονα f(a) = a+1 & f(a+1) = a => f(a) = a+1 & f(a) = a-1 => a+1 = a-1 => 1=-1 άτοπο.
​

Έτσι όπως το είπες εσύ, δεν έφερες καμία αντίφαση, απλά είπες ότι δεν θα ήταν 1-1

Και πάλι λάθος είναι γιατί έτσι όπως την όρισες έχει σαν αντίστροφη τον εαυτό της αλλά δεν είναι 1-1....λολ..

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Και πάλι λάθος είναι γιατί έτσι όπως την όρισες έχει σαν αντίστροφη τον εαυτό της αλλά δεν είναι 1-1....λολ..

Σαφώς και είναι 1-1 ... στο ΠΟ/ΣΤ της.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[nicotine_kills]

Και πάλι λάθος είναι γιατί έτσι όπως την όρισες έχει σαν αντίστροφη τον εαυτό της αλλά δεν είναι 1-1....λολ..

Λοιπόν,επειδή έχω να κοιμηθώ απο χθές θέλω να το ξεχάσεις αυτο που έγραψα.Αλλά μου ήρθαν κάτι άλλες σκέψεις στα γρήγορα πιθανότατα και αυτές λάθος.Μήπως είναι όλες οι ευθείες τις μορφής
ψ = -χ + β με β=2α+1 και με χ=α ή α+1;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coincidence]

Για ποιους θετικους ακεραιους κ,μ,ν ισχυει η σχεση 90=ν(3κ+1)/2^μ


ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[nicotine_kills]

Για ποιους θετικους ακεραιους κ,μ,ν ισχυει η σχεση 90=ν(3κ+1)/2^μ


ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!

Μια τριάδα που βρήκα είναι ν=180 κ=1 μ=3.Τώρα προσπαθώ να δω αν ισχύει και για άλλες.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coincidence]

Μια τριάδα που βρήκα είναι ν=180 κ=1 μ=3.Τώρα προσπαθώ να δω αν ισχύει και για άλλες.

Πειραματικα τα βρισκεις η με καποια μεθοδο;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[nicotine_kills]

Πειραματικα τα βρισκεις η με καποια μεθοδο;

Αυτην την βρήκα τυχαία απο το γεγονος οτι η σχέση 3κ+1 μας δίνει τον κ-οστο όρο της αριθμητικής προόδου με α1=4 και διαφορά ω=3 και το οτι η σχέση 2^μ ειναι γεωμετρική προόδος με α1=2 και λόγο λ=2.Έγραψα τους πρώτους όρους των δύο αυτών προόδων και το παρατήρησα.Απλα σκέφτομαι να ψάξω για το ποιά σχέση υπάρχει μεταξύ των δύο προόδων,αλλά βαριέμαι ακόμα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[frappe]

Για ποιους θετικους ακεραιους κ,μ,ν ισχυει η σχεση 90=ν(3κ+1)/2^μ

90 . 2^μ = ν(3κ+1) <=>

2 . 3^2 . 5 . 2^μ = ν(3κ+1) <=>

3^2 . 5 . 2^(μ+1) = ν(3κ+1) <=>

Επειδή το 3κ+1 δεν μπορεί να διαιρείται με το 3^2=9, συμπεραίνουμε ότι ν=9λ, για κάποιο λ θετικό ακέραιο

Επαναδιατυπώνω λοιπόν:

Για ποιους θετικους ακεραιους κ,λ,μ ισχυει η σχεση 5 . 2^(μ+1)=λ(3κ+1)

Για συγκεκριμένο μ πρέπει να βρούμε εκείνα τα κ, για τα οποία
ο 3κ+1 διαιρεί το 5 . 2^(μ+1).

Το 3κ+1 δεν μπορεί να είναι 1 αφού ο κ οφείλει να είναι θετικός
Μπορεί όμως να είναι της μορφής 2^Α ή της μορφής 5 . 2^Α

Θεώρημα A περιττός <=> 2^Α = 2 mod 3 και A άρτιος <=> 2^Α = 1 mod 3

Απόδειξη

2^0 = 1 mod 3
2^1 = 2 mod 3

και για κάθε x>=0 ισχύει 2^(χ+2) = (2^2 . 2^χ) mod 3 = 2^x mod 3



α) Το 3κ+1 είναι της μορφής 2^Α
3κ+1 = 2^Α <=>
2^Α = 1 mod 3 <=>
A άρτιος

β) Το 3κ+1 είναι της μορφής 5 . 2^Α
3κ+1 = 5. 2^Α <=>
3κ+1 = 6. 2^Α - 2^Α <=>
2^Α = 6. 2^Α - 3κ - 1 <=>
2^Α = 2 mod 3 <=>
A περιττός



Λύσεις

Έχουμε 2 βαθμούς ελευθερίας:
Επιλέγω αυθαίρετα το μ
Επιλέγω αυθαίρετα ένα Α, τέτοιο ώστε 1<=Α<=μ+1

αν Α άρτιος τότε 3κ+1 = 2^Α <=> κ = (2^Α-1)/3
αν Α περιττός τότε 3κ+1 = 5 . 2^Α <=> κ = (5 . 2^Α-1)/3

Το λ προκύπτει από τη σχέση λ = 5 . 2^(μ+1)/(3κ+1)



Πχ για μ=3 έχουμε:
Α=1 => κ = (5 . 2 -1)/3 => κ = 3 => λ=8
Α=2 => κ = (4 -1)/3 => κ = 1 => λ=20
Α=3 => κ = (5 . 8 -1)/3 => κ = 13 => λ=2
Α=4 => κ = (16 -1)/3 => κ = 5 => λ=5


Και τέλος το ν προκύπτει από τη σχέση ν=9λ



coincidence, έχεις καμιά πιο απλή λύση;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coincidence]

Αγαπητέ φιλέ, σου εύχομαι καλή χρόνια!
Ο βασικός σκοπός μου ήταν να βρεθούν εκείνα τα κ ώστε η γωνία θ=270/(3κ+1) να είναι κατασκευάσιμη με κανόνα και διαβήτη (θ σε μοίρες, κ ακέραιος).
Διαβάζοντας μια πτυχιακή, είδα πως οι κατασκευάσιμες γωνίες είναι αυτές που είναι πολλαπλάσιες του 3. Δηλαδή όλες όσες είναι τις μορφής 3ν (ν ακέραιος). Μια γωνία μπορεί να διχοτομηθεί κιόλας. Άρα οι κατασκευάσιμες γωνίες είναι της μορφής 3ν/2^μ. (1)

Έτσι θα έπρεπε να συγκριθεί η θ γωνία με την παραπάνω. Και κατέληξα στη σχέση με τη όποια ασχολήθηκες 90=ν(3κ+1)/2^μ. Και ουσιαστικά αν κρίνω καλά βρήκες τα κ για τα όποια η θ είναι κατασκευάσιμη. Μπράβο! Αν έχεις άλλη λύση ώστε να αποδείξεις ότι η θ είναι κατασκευάσιμη για ορισμένα κ θα ήθελα να ξέρω.


(1)
Ένα ερώτημα ακόμα έχω όμως. Μια γωνία μπορούμε να τη διχοτομήσουμε. Όχι όμως να την τριχοτομήσουμε. Μήπως όμως μπορούμε να τη χωρίσουμε σε πέντε ίσα μέρη η κάτι άλλο που δε προέρχεται από συνεχόμενες διχοτομήσεις η τριχοτομήσεις;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[frappe]

Ο βασικός σκοπός μου ήταν να βρεθούν εκείνα τα κ ώστε η γωνία θ=270/(3κ+1) να είναι κατασκευάσιμη με κανόνα και διαβήτη

Α μάλιστα! Τώρα το πρόβλημα αποκτά μεγαλύτερη σημασία, μιας και ξέρουμε για τι ψάχνουμε!

Αφού έχουν σημασία λοιπόν οι τιμές του κ, μπορούμε να πούμε τα εξής:
Το κ εξαρτάται μόνο από το Α, που έχω ορίσει παραπάνω
- Αν το Α είναι περιττός δηλ Α=2n+1 προκύπτει 3κ+1 = 10 . 4^n
- Αν το Α είναι άρτιος δηλ Α=2n προκύπτει 3κ+1 = 4^n

Επομένως οι γωνίες που ζητάς θα είναι της μορφής 270/4^n ή της μορφής 27/4^n

Μήπως όμως μπορούμε να τη χωρίσουμε σε πέντε ίσα μέρη η κάτι άλλο που δε προέρχεται από συνεχόμενες διχοτομήσεις η τριχοτομήσεις;

Δε γνωρίζω αν έχουμε τη δυνατότητα να τη χωρίσουμε στα 5 ή 7, 11 κλπ. Ακριβέστερα, δε νομίζω ότι μπορούμε



Υ.Γ. Καλή χρονιά και σε σένα και σε όλους στο φόρουμ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

coincidence

Διαβάζοντας μια πτυχιακή, είδα πως οι κατασκευάσιμες γωνίες είναι αυτές που είναι πολλαπλάσιες του 3.

Αγαπητέ φίλε, στη γεωμετρία, αλλά και στην αριθμητική, τα ακέραια μέρη, δεν κάνουν ακέραιο όλο.
Κάτω από αυτό το πρίσμα και επειδή οι γωνίες είναι σχήματα, για τα οποία δεν υπάρχει η δυνατότητα να αθροιστούν, αλλά συγχρόνως εκφράζονται από ακέραιους αριθμούς, δεν μπορεί να αιτιολογηθεί ακέραιο πολλαπλάσιο 3 (ή όποιο άλλο), είτε αριθμητικά, είτε σχηματικά (ομιλείς περί κατασκευής).
Σου θυμίζω επίσης, ότι οι κατασκευές στη γεωμετρία (όπως είναι οι ζητούμενες γωνίες) γίνονται αποκλειστικά με διαβήτη και κανόνα, δηλαδή μη βαθμολογημένο χάρακα.
Θεωρητική γεωμετρία Α΄ Λυκείου των Αλιμπινίση, Δημάκου, Εξαρχάκου Κοντογιάννη και Τασσόπουλου σελίδα 16.

Από αυτό συνάγεται ότι με μόνο τον διαβήτη και ένα σταθερό άνοιγμα ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙΣ να δημιουργήσεις διπλάσια, τριπλάσια ή άλλη πολλαπλάσια γωνία. Επειδή οι γωνίες αποτελούνται από τα εσωτερικά σημεία των ευθειών που τεμνόμενες την περιέχουν, μπορείς να έχεις 3 ίσες γωνίες με μία αρχική, αλλά δεν μπορείς να έχεις μία τριπλάσια.
Είμαι στη διάθεσή σου να στο αναλύσω με μεγάλη ευχαρίστηση, αν τα όσα σου λέω πάσχουν σε σαφήνεια.

Αγαπητέ φίλε, η πτυχιακή είναι εσφαλμένη καθώς αντιφάσκει και ως προς το ακέραιο σχηματικό πολλαπλάσιο και ως προς το αριθμητικό πολλαπλάσιο του 1 και ως προς τη δυνατότητα κατασκευής. Δεν υπάρχει αξίωμα στήριξης μιας τέτοιας κατασκευής όπως η ζητούμενη, παρά μόνο αν την τοποθετήσουμε εκτός της γεωμετρίας και της αριθμητικής.
Σου θυμίζω επίσης ότι οι αριθμοί διακρίνονται κατά τάξη (1ος, 2ος, 3ος κ.τ.λ.) και κατά πλήθος (2 μονάδες, 3 μονάδες, 4 μονάδες, κ.τ.λ.) και κατά κανέναν άλλο τρόπο τουλάχιστον στα μαθηματικά.

Αυτά τα αναφέρω γιατί σου έχω απαντήσει ήδη σε άλλο τόπικ και εσύ πάλι εξακολουθείς να θέτεις μη μαθηματικό πρόβλημα εντός των μαθηματικών.

Καλή χρονιά με υγεία.

ΥΓ: Αυτό δεν συνεπάγεται ότι πρέπει να με εμπιστευτείς και μπορείς να συζητάς το θέμα όπως έχεις δικαίωμα το οποίο δεν σου αμφισβητώ. Απλά σου γνωρίζω και σου υπενθυμίζω, ότι είναι εκτός των μαθηματικών.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coincidence]

Α μάλιστα! Τώρα το πρόβλημα αποκτά μεγαλύτερη σημασία, μιας και ξέρουμε για τι ψάχνουμε!

Αφού έχουν σημασία λοιπόν οι τιμές του κ, μπορούμε να πούμε τα εξής:
Το κ εξαρτάται μόνο από το Α, που έχω ορίσει παραπάνω
- Αν το Α είναι περιττός δηλ Α=2n+1 προκύπτει 3κ+1 = 10 . 4^n
- Αν το Α είναι άρτιος δηλ Α=2n προκύπτει 3κ+1 = 4^n

Επομένως οι γωνίες που ζητάς θα είναι της μορφής 270/4^n ή της μορφής 27/4^n

Αγαπητέ φιλέ,
Σε ευχαριστώ για τη δουλεία που καταβάλεις.
Πριν ακόμα ανταλλάξουμε απόψεις χρησιμοποιούσα δεδομένο ο τι η γωνία θ=270/3κ+1 είναι κατασκευάσιμη. Χρησιμοποιώντας αυτό, κατέληξα στην κατασκευή του κανονικού 17γώνου. Ουσιαστικά στη κατασκευή της γωνίας ζ=360/17 (ο Gauss πρώτος απέδειξε πως είναι δυνατόν να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη).
Για κ=11 και πολλαπλασιάζοντας την θ επί 8/3 (μπορώ να στο αποδείξω πως αυτό), καταλήγουμε στη ζ, στην όποια κατέληξε και ο Gauss.
Η γωνία ζ όμως δε μπορεί να είναι κατασκευάσιμη συμφώνα με όσα έχουμε γράψει παραπάνω (αν και κανονικά θα έπρεπε για κ=11 συμφώνα με τον Gauss).
Άρα: Eχω κάνει λάθος εγώ!
Έχεις κάνει λάθος εσύ!
Έχει λάθος η πτυχιακή (σχετικά με την κατασκευή γωνιών)!
Έχει λάθος ο Gauss (σχεδόν αδύνατο)!

Εγώ κοιτώ ξανά της σημειώσεις μου αλλά οι πράξεις μου είναι παρά πολύ άπλες για να υπάρχει λάθος. Και στα δικά σου δε βρίσκω λάθος. Πως αλλιώς μπορούμε να δείξουμε για ποια κ η θ είναι κατασκευάσιμη χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα της πτυχιακής;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coincidence]

Κάτω από αυτό το πρίσμα και επειδή οι γωνίες είναι σχήματα, για τα οποία δεν υπάρχει η δυνατότητα να αθροιστούν, αλλά συγχρόνως εκφράζονται από ακέραιους αριθμούς, δεν μπορεί να αιτιολογηθεί ακέραιο πολλαπλάσιο 3 (ή όποιο άλλο), είτε αριθμητικά, είτε σχηματικά (ομιλείς περί κατασκευής).

Αγαπητέ Ipie,
Ναι το γνωρίζω πως μου έχετε απαντήσει αλλά αυτό δε με σταματά στο να ψάχνω. Δέχομαι όσα μου αναφέρατε και δυστυχώς επειδή δεν είμαι μαθηματικός δε μπορώ να απαντώ σε όλα όσα λέτε. Απλά ψάχνω, και ειδικά το νέο και το λάθος. Και προσπαθώ να βρω μια λύση στο αρχικό πρόβλημα μου. Το να βρω ποιες γωνίες είναι κατασκευάσιμες (όποτε αναφέρω αυτή τη λέξη πάντα εννοώ με κανόνα και διαβήτη) δεν είναι εκτός των μαθηματικών πιστεύω. Και ειδικότερα ποιες από τις θ=270/3κ+1 είναι κατασκευάσιμες.

Αντιδράτε μαζί μου όπως άλλοι αντιδρούν με εσάς. Αυτό είναι πολύ καλό. Και πολύ καλό για εσάς που δε στερείστε της απόδειξης των λεγόμενων σας. Αυτό είναι επιστήμη! Είχατε αναφέρει πως αν ήσασταν μαθηματικός θα κάνατε τους άλλους μαθηματικούς να χάσουν το ύπνο τους. Δε χρειάζεται να είστε μαθηματικός για να γίνει αυτό. Ο Laplace ήταν μηχανικός και όμως οι μετασχηματισμοί του αποδείχτηκαν σωστοί.
Αναφέρετε για σχήματα και αθροίσεις σχημάτων. Υπάρχει ένα θεώρημα σχετικά με την εξωτερική γωνία ενός τρίγωνου. Ισούται με της απέναντι δυο. Έχουμε λοιπόν δυο γωνίες και μια τρίτη που είναι το άθροισμα τους. Και η απόδειξη αυτού είναι πολύ απλή και εύκολη. Τι αντίρρηση φέρνετε σε αυτό παρακαλώ; Είναι ένα θεώρημα που χρησιμοποιείται συχνά. Αν δεν ισχύει η άθροιση γωνιών δε θα ισχύουν και πολλά αλλά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.