Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

[io-io]

What he said ^

Δεν εβαλα λυση για να το δει και κανενας αλλος, αλλα ο georgeb δεν κρατηθηκε.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Archie]

ασχολιθηκα μια ωριτσα αλλα δεν το εβγαλα
πηγα να το βγαλω με χρηση συνολων (τομες, ενωσεις κλπ) πανω στα οποια εχω ελαχιστες γνωσεις (αυτες απο τα μαθηματικα γενικης της Γ λυκειου στο κεφαλαιο των πιθανοτητων)

Α και κατι αλλο.. μηπως γνωριζει κανεις τι παιζει με την ΕΜΕ; Υποτιθεται οτι καθε μηνα με καθηστερηση το πολυ 20 ημερων δημοσιευουν μια ασκηση προκληση για μαθητες, αλλα εχουμε 4 Απριλιου και εχουν ακομα την ασκηση του Ιανουαριου που η προθεσμια αποστολης της λυσης της ηταν μεχρι 20 Φεβρουαριου...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giwrgos4903]

Α καλά, τι περιμένεις και εσύ τώρα...Αυτές οι ασκήσεις είναι χάσιμο χρόνου. Δεν χρειάζεται να δίνεις καθόλου σημασία. Απο την άλλη, μπορείς να ασχοληθείς με αυτή που θα δημοσιεύσω εγώ τώρα, έτσι για να ακονίσεις λίγο το μυαλουδάκι σου...

Problem:

Δίνεται τρίγωνο

και τα σημεία

των πλευρών

, ώστε

. Οι

τέμνονται στο

. Η παράλληλη από το

προς τη διχοτόμο

του τριγώνου

τέμνει την

στο

. Να αποδειχθεί ότι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Archie]

Α καλά, τι περιμένεις και εσύ τώρα...Αυτές οι ασκήσεις είναι χάσιμο χρόνου. Δεν χρειάζεται να δίνεις καθόλου σημασία. Απο την άλλη, μπορείς να ασχοληθείς με αυτή που θα δημοσιεύσω εγώ τώρα, έτσι για να ακονίσεις λίγο το μυαλουδάκι σου...

Problem:

Δίνεται τρίγωνο

και τα σημεία

των πλευρών

, ώστε

. Οι

τέμνονται στο

. Η παράλληλη από το

προς τη διχοτόμο

του τριγώνου

τέμνει την

στο

. Να αποδειχθεί ότι

Αν και ειμουν καλος στη Γεωμετρια μεχρι την Α Λυκειου, στη Β δεν ανοιξα καθολου βιβλιο με αποτελεσμα τωρα να εχω παρα πολλα κενα, βρηκα κατι αναλογιες με το θεωρημα διχοτομων και με την ομοιωτητα των τριγωνων που σχηματιζονται απο τις δυο παραλληλες αλλα δεν βγαζω ακρη. Ισως να παιζει κατι με το τετραπλευρο που σχηματιζεται ενωνοντας τα σημεια Κ,Λ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giwrgos4903]

Η γεωμετρία θέλει σκέψη όντως αλλά μη στηρίζεσαι σε σχολικά χαζά θεωρήματα...
Λύση:
Έστω

τα μέσα των

και

το μέσο του

. Από την ευθεία Gauss έχουμε ότι

συνευθειακά και
εύκολα ή με παράλληλη μεταφορά ή με δύο μενελάους μπορούμε να δείξουμε ότι

επομένως RE//AD//PM και επειδή

το μέσον του

θα είναι

το μέσον του

άρα

άρα

.Τώρα τα τρίγωνα

έχουν μια γωνία ίση και μια παραπληρωματική επομένως

οπότε

and QED

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giwrgos4903]

Να μια ωραία που μόλις έλυσα. Σίγουρα μπορείς να τη λύσεις με 2,3 θεωρηματάκια...


Problem: H συνάρτηση f(n) ορίζεται στους θετικούς ακεραίους και παίρνει μη αρνητικές ακέραιες τιμές. Επιπλέον f(2)=0 f(3)>0 και f(9999)=3333 και για όλα τα m,n ισχύει ότι f(m+n)-f(m)-f(n)=0 ή 1. Να προσδιορίσετε το f(1982).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Archie]

Το θεμα ειναι οτι δυστυχως δεν εχω ασχοληθει καθολου με εξωσχολικα μαθηματικα, αν εξερεσουμε το περυσι που δεν διαβαζα καθολου παντα ειμουν παρα πολυ καλος στα μαθηματικα αλλα μονο στο σχολειο, για ολυμπιαδες κλπ δεν γνωριζα τιποτα, δυο φορες ειχα παει στο Θαλλη (φτανοντας μεχρι τον Ευκλειδη στη Γ Γυμνασιου) αλλα ειχα παει μονο και μονο επηδη ο μαθηματικος μας ειχε πει οτι ειναι ενας αρκετα ενδιαφερον διαγωνισμος για να δουμε ποσο καλοι ειμαστε στα μαθηματικα, δεν ειχα ιδεα για το ποιος ηταν ο βασικος λογος που γινονται αυτοι οι διαγωνισμοι

Φετος λεω μετα τις πανελληνιες να αγορασω τιποτα βιβλια για ολυμπιαδες ωστε να μαθω τα παντα γι αυτες και να προετημαστω για τη seemous του χρονου, πρωτα ομως πρεπει να γραψω πανελληνιες, εχω 30 μερες να καλυψω 30 σελιδες κενα στο ΑΟΔΕ αλλα σκυλοβαριεμαι, δεν τη μπορω τη παπαγαλια

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

Archie, φιλικη συμβουλη, καλυτερα να ασχοληθεις με τις πανελληνιες παρα με τις ολυμπιαδες, και μαλιστα την seemous, στη φαση που βρισκεσαι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[frappe]

Γιώργο φαίνεται ότι είσαι πολύ προχωρημένος.. Πολύ ωραία η λύση σου στην άσκηση με το τρίγωνο!
Ασχολείσαι με διαγωνισμούς;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Tetragrammaton]

Να μια ωραία που μόλις έλυσα. Σίγουρα μπορείς να τη λύσεις με 2,3 θεωρηματάκια...


Problem: H συνάρτηση f(n) ορίζεται στους θετικούς ακεραίους και παίρνει μη αρνητικές ακέραιες τιμές. Επιπλέον f(2)=0 f(3)>0 και f(9999)=3333 και για όλα τα m,n ισχύει ότι f(m+n)-f(m)-f(n)=0 ή 1. Να προσδιορίσετε το f(1982).

Από τι εξάρτάται αν f(m+n)-f(m)-f(n)=0 ή 1;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giwrgos4903]

Απάντηση προς frappe: Ναι και εγώ και ο αδερφός μου απο ηλικία περίπου 12 ετών.

Απάντηση προς Tetragrammaton: Δεν κατάλαβα ακριβώς τι θες να πεις με αυτό.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giwrgos4903]

Έγραψα τη λύση απο το πρόβλημα με τις συναρτήσεις. Εδώ θα σου λυθούν όλες οι απορίες πιστεύω...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Archie]

Archie, φιλικη συμβουλη, καλυτερα να ασχοληθεις με τις πανελληνιες παρα με τις ολυμπιαδες, και μαλιστα την seemous, στη φαση που βρισκεσαι.

Εχεις δικιο, με ολυμπιαδες θα ασχοληθω μετα τις πανελληνιες, αλλα μετα θα κανω τα παντα για να αποκτησω ολες τις γνωσεις γυρω οχι μονο απο τη seemous αλλα και απο ολες τις ολυμπιαδες για μαθητες λυκειου με τις οποιες δυστηχως δεν ειχα ασχοληθει τοσα χρονια λογο αγνοιας..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giwrgos4903]

Οκ, εφόσον δεν ασχολείσαι με ολυμπιάδες ξεσκόνισα λίγο το αρχείο μου και βρήκα μια άσκηση την οποία κατασκεύασα εγώ ο ίδιος μιας και μου το είχε ζητήσει ο θείος μου γαι να τη βάλει στα παιδια στο σχολειο σαν τεστακι 4ο θεμα...

Problem:
Αν η συνάρτηση

είναι συνεχής στο

παραγωγίσιμη στο

με

να δείξετε ότι υπάρχει

που ανήκει στο

τέτοιο ώστε

για κάθε πραγματικό αριθμό

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Archie]

Οκ, εφόσον δεν ασχολείσαι με ολυμπιάδες ξεσκόνισα λίγο το αρχείο μου και βρήκα μια άσκηση την οποία κατασκεύασα εγώ ο ίδιος μιας και μου το είχε ζητήσει ο θείος μου γαι να τη βάλει στα παιδια στο σχολειο σαν τεστακι 4ο θεμα...

Problem:
Αν η συνάρτηση

είναι συνεχής στο

παραγωγίσιμη στο

με

να δείξετε ότι υπάρχει

που ανήκει στο

τέτοιο ώστε

για κάθε πραγματικό αριθμό

Λοιπον:

1η περιπτωση: f σταθερη στο [α,β], τοτε f(χ) = 0 για καθε χ στο [α,β] και f'(x) = 0 για καθε χ στο [α,β], οποτε θα ισχυει f'(x) = 0 = k*0 = k*f(x) για καθε χ στο [α,β] και για καθε πραγματικο αριθμο κ

2η περιπτωση: f μη σταθερη στο [α,β]. Εστω ξ η μικροτερη ριζα της f στο (α,β] (αν η f δεν εχει ριζα στο (α,β) τοτε ξ=β), στο (α,ξ) οριζουμε τη συναρτηση h(x) = -κχ - 1/f(x), οπου κ ενας οποιοςδηποτε πραγματικος αριθμος. Εχουμε lim(x->a+)(h(x))= +oo η -oo και lim(x->ξ-)(h(x)) = +oo η -oo. Επηδη f(x) >< 0 στο (α,ξ) η f διατηρει προσημο στο (α,ξ), αρα τα παραπανω ορια θα ειναι και τα δυο ειτε +oo ειτε -oo, οποτε καθος το χ που μεταβαλλεται στο (α,ξ) προσεγγιζει ειτε το α ειτε το ξ η h αυξανεται η μειωνεται απεριοριστα, ετσι ευκολα προκειπτει (εδω θελει αρκετα λογια, μη τα γραφω ολα) οτι η h δεν ειναι γνησιως μονοτονη στο (α,ξ) αρα ουτε 1 - 1, οποτε υπαρχουν χ1,χ2 στο (α,ξ) με h(x1) = h(x2). Τωρα εχουμε: h συνεχης και παραγωγισημη στο [χ1,χ2] ως αθροισμα πολυωνυμικης με συνθεση ρητης με την f, h(x1) = h(x2), αρα απο Θ Rolle διαφορικου λογισμου προκειπτει οτι υπαρχει λ στο (χ1,χ2) με h'(λ) = 0 <=> -κ + f'(λ)/f(λ)^2 = 0 <=> f'(λ)/f(λ)^2 = κ <=> f'(λ) = κf(λ)^2

Παρατηρηση: τα ορια βγαινουν μη πεπερασμενα επηδη η f ειναι συνεχεις στο [α,ξ] οποτε ισχυει lim(x->α+)f(x) = f(α) = 0 = f(ξ) = lim(x->ξ-)f(x)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[georgeb]

Rolle στην h(x)=f(x)e^{ολοκλήρωμα απο α έως χ του f(t)dt} στο διάστημα [α,β] και τελειώσαμε

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Archie]

Rolle στην h(x)=f(x)e^{ολοκλήρωμα απο α έως χ του f(t)dt} στο διάστημα [α,β] και τελειώσαμε

μαλλον θες να πεις rolle στην h(x)=f(x)e^{ολοκλήρωμα απο α έως χ του f(t)dt}*k

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[georgeb]

Ωχ ναι, μπερδέυτηκα sorry...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Archie]

Δεν ξερω γιατι αλλα μου φαινεται οτι η συγκεκριμενη ασκηση χαρακτηριζεται απο μεγαλη ασαφεια, προσπαθισα να κατσω και να τη λυσω 2-3 φορες αλλα τελικα δεν μπορεσα να καταλαβω τι ακριβως ζηταει, βασικα κατι μου ηρθε στο μυαλο αλλα μου φανηκε υπερβολικα ευκολο για να μπει σαν ασκηση του μηνα, οποτε μαλον κατι αλλο ζηταει.

Η Ασκηση ειναι αυτη: https://www.hms.gr/eme/modules/wfsection/article.php?articleid=642&lang=greek

Αν μπορει καποιος που να εχει ασχοληθει περισσοτερο με εξωσχολικες δυσκολες ασκησεις ας ριξει μια ματια στην παραπανω ασκηση γιατι με εχει φαει η περιεργεια

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giwrgos4903]

Παραθέτω εδώ μια πρόχειρη λύση γιατί δεν έχω και πολύ χρόνο για αυτά....

Η εξίσωση παίρνει τη μορφή Αχ +Βy +Cz=0 όπου Α=-5+2*5^n και Β=-10+3*5^n και C=-1+5^n.

Προφανώς (x,y,z)=(-B,A,0) και (C,0,-A) είναι 2 λύσεις της εξίσωσης. Ενώ όλες οι λύσεις δ΄θνονται απο (x,y,z)=n(-B,A,0)+m(C,0,-A), όταν βέβαια n,m είναι ακέραιοι. Άρα έχουμε άπειρες λύσεις..QED.

PS: Στο ξανατόνισα! Μη δουλεύεις με χαζά ''σχολικά'' θεωρήματα. Αυτή ήταν μια απλή διοφαντική εξίσωση όπου φυσικά ο κ. ....... (άλλα μας είχε πει το καλοκαίρι στα μαθήματα προετοιμασίας, τέλοςπάντων) την αντέγραψε απο το βιβλίο του Barbeau (Polynomials).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.