Nα προσφέρω μια χείρα;
Λοιπόν... Έχουμε τυχαίο διάστημα (α,β), και θέλουμε νδο υπάρχουν άπειροι ρητοί και άπειροι άρρητοι.
Οκ, θα μπορούσε να είναι χειρότερα. Ώρα για πονηρή σκέψη (όχι κυριολεκτικά).
->Πρώτη σκέψη: Αν βρούμε στο (α,β) έναν ρητό (ή άρρητο) γ, τότε επαναλαμβάνουμε το επιχείρημα στο διάστημα (α,γ) και βρίσκουμε έναν ακόμα δ, μετά στο (δ,γ) μέχρι να βρούμε έναν ακόμα ε, και ούτω καθεξής μέχρι το άπειρο (βασικά, μέχρι να μας τελειώσει το αλφάβητο) και έτσι θα έχουμε δείξει ότι υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί εντός του (α,β).
Αυτός ο τρόπος είναι κάπως αλ(ο)γοριθμικός, και απόλυτα φυσιολογικός για όσους ασχολούνται με άσκοπα παιχνίδια (όπως η κβαντική, ο προγραμματισμός η/υ, οι φοιτητικές εκλογές).
Επειδή όμως τέτοια θέματα μπορεί να σε κάνουν να τα αγαπήσεις, άρα δεν πρέπει να παίζεις μαζί τους, χρειάζεται να τα κοιτάξουμε με το αδιάφορο και απόμακρο μάτι της Θεωρίας. Άσε που -έτσι για να γουστάρουμε- είναι καλύτερο να βρούμε άπειρους ρητους/άρρητους στο διάστημα - να τους κατασκευάσουμε, να τους ταυτοποίησουμε, και μετά να τους στείλουμε από κει που ήρθαν. Οπότε καταλήγουμε...
->Δεύτερη σκέψη: Ωμή βία.
(Θα τους κατασκευάσουμε, θέλουν δε θέλουν).
->Τρίτη σκέψη: Με άτοπο... Όμορφα και τακτοποιημένα, για να ξεμπερδεύουμε, έχουμε και δουλειές.
->Tέταρτη σκέψη: Αρκέτα με τα λόγια.
Πάμε να κατασκευάσουμε άπειρους ρητούς/άρρητους. Χρειαζόμαστε το ακόλουθο...
Δεδομένο: Αν μια δεκαδική παράσταση τερματίζεται/είναι περιοδική, τότε και μόνο τότε, πρόκειται για ρητό.
Θεωρούμε τις δεκαδικές παραστάσεις των α,β:
Υπάρχουν πολλοί τρόποι να δημιουργήσουμε ρητούς/άρρητους... Αλλά ένας με ελάχιστο κόπο.
Επειδή α<β, υπάρχει δείκτης κ με τα αντίστοιχα ψηφία α_κ<β_κ. Τότε, οι αριθμοί
ανήκουν στο διάστημα, είναι ρητοί (τερματίζεται η παράσταση) και είναι και άπειροι (παρεπιπτόντως, ακόμα μερικές φορές μετράω με τα δάχτυλα, και γινομαι ρόμπα).
Για άρρητους, χρειάζεται να προσέξουμε λίγο τι γίνεται με τα άκρα. Αν δεν τερματίζεται η παράσταση του β, μπορούμε να θεωρήσουμε τον αριθμό
ο οποίος δεν είναι περιοδικός, άρα είναι άρρητος. Συνεχίζουμε με αυτό το τρόπο (αν θέλουμε δηλαδή, δεν μας αναγκάζει κανείς.)
Kαι ένα άτοπο, για το καλό. Έστω ότι το διάστημα (α,β) περιέχει πεπερασμένο πλήθος ρητών και αρρήτων. Τότε, και το ίδιο το διάστημα θα έχει πεπερασμένο πλήθος σημείων.
Αλλά, υπάρχει συνάρτηση φ: (0,1)->(α,β) η οποία είναι 1-1 και επί, και συνεπώς το (0,1) είναι ισοπληθές με το (α,β), δηλαδη έχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Άτοπο (...και η αυλαία πέφτει, να βγάλουμε το μεηκ απ επιτέλους και να πάμε σπίτι...)
Μιας και μου άρεσε η ιστορία με τα άτοπα, ακόμα ένα. Έστω ότι οι διακεκριμένοι ρητοί του (α,β) είναι οι χ_1,χ_2,...,χ_κ,
και μόνο. Τότε, ο αριθμητικός τους μέσος είναι ρητός (όσο δε πάει) και διαφορετικός από τα χ_1,χ_2,...,χ_κ, άτοπο...
(Γιατί αυτό δεν ισχύει και με τους άρρητους;... Ή ισχύει και απλά ξέχασα να κάνω πράξεις;...)
Για τους άρρητους τώρα. Έστω ότι είναι οι χ_1,χ_2,...,χ_κ και μόνο. Από αυτούς, επιλέγουμε έναν (αλγεβρικό έστω), χ. Τότε ο χ^{sqrt(2)} είναι (υπερβατικός) άρρητος. Για κατάλληλο ρητό λ, ο λ*χ^{sqrt(2)} ανήκει στο διάστημα και διαφέρει από τους υπόλοιπους, άτοπο πάλι...
Eδιτ: Βιάστηκα. Αν είναι αρνητικός, πάμε σε διαδοχικές περιτές ρίζες, μέχρι να βρούμε έκ νέου αλγεβρικό άρρητο (αλλιώς δεν ήταν αλγεβρικός εξ' αρχής).
